LABORATORUL 2 BUC
Operaţii logice de bază, logică şi aritmetică booleană, exerciţii.
Noţiunea de propoziţie
Definiţie: Se numeşte propoziţie un enunţ despre care se poate spune că este adevărat sau fals, dar nu şi adevărat şi fals simultan.
Vom nota propoziţiile cu a, b, c, d, ... p, q.
Operatori logici
Echivalenţa logică: Propoziţiile p şi q sunt echivalente logic dacă şi numai dacă p şi q sunt adevărate sau sunt false simultan şi se notează p = q .
Negaţia: Negaţia unei propoziţii p este propoziţia care este falsă când p este adevărată şi este adevărată când p este falsă. Notaţiile următoare sunt echivalente: not p, non p, ¯p, ךp.
Tabela de adevăr pentru negaţie este:
|
p |
not p |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Conjuncţia: Conjuncţia a două propoziţii p şi q este propoziţia care este adevărată dacă şi numai dacă fiecare propoziţie p şi q este adevărată. Notaţiile următoare sunt echivalente: p and q, p şi q, p·q, pΛq.
Tabela de adevăr pentru conjuncţie este:
|
p |
q |
p and q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Conjuncţia propoziţiilor este comutativă ( p and q ) = ( q and p )
şi asociativă ( (p and q) and r ) = ( p and (q and r) ).
Disjuncţia: Disjuncţia a două propoziţii p şi q este propoziţia care este adevărară dacă şi numai dacă cel puţin una dintre propoziţiile p şi q este adevărată. Notaţiile următoare sunt echivalente: p or q, p sau q, p+q, pVq.
Tabela de adevăr pentru disjuncţie este:
|
p |
q |
p or q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
Disjuncţia propoziţiilor este comutativă ( p or q ) = ( q or p )
şi asociativă ( (p or q) or r) = (p or (q or r) ).
Proprietăţile fundamentale ale operatorilor logici:
Oricare ar fi propoziţiile p, q, r, ... , avem:
1) not (not p) = p
2) p or q = q or p
3) [(p or q) or r] = [p or (q or r)]
4) p and q = q and p
5) [(p and q) and r] = [p and (q and r)]
6) not ( p or q ) = ( not p ) and ( not q )
7) not ( p and q ) = ( not p ) or ( not q )
8) p and ( q or r ) = ( p and q ) or ( p and r )
9) p or ( q and r ) = ( p or q ) and ( p or r )
10) p or ( not p ) = 1
11) p and ( not p ) = 0
12) p or p = p
13) p and p = p
14) p or 1 = 1
15) p and 1= p
16) p or 0 = p
17) p and 0 = 0
Definiţie: Se va numi minterm acea propoziţie care se scrie ca o conjuncţie de una sau mai multe propoziţii. Exemplu de mintermi : a, a and b, a and b and c, a and b and c and … and q.
Definiţie: Se va numi maxterm acea propoziţie care se scrie ca o disjuncţie de una sau mai multe propoziţii. Exemplu de maxtermi : a, a or b, a or b or c, a or b or c or … or q.
O funcţie de transfer poate fi scrisă ca o conjuncţie de maxtermi sau ca o disjuncţie de mintermi.
EXERCIŢII
1. Scrieţi tabelul de adevăr care descrie următoarea funcţie de transfer: a and ( b or c ).
2. Scrieţi tabelul de adevăr care descrie următoarea funcţie de transfer: ( not a ) or ( b and c ).
3. Să se reducă funcţia de transfer:
( c and a and b ) or ( c and a and ( not b )) or ( c and ( not a ) and b ) or ( c and ( not a ) and ( not b )).
4. Demonstraţi că: c and ( c or a) and ( c or b ) = c or ( c and b ) or ( c and a ) or (c and a and b ) = c.
5. Funcţia logică de transfer xnor are următorul tabel logic:
|
p |
q |
p xnor q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Să se scrie detaliat aceeaşi funcţie folosind operatorii logici not, and şi or.
6. Să se scrie relaţia ( a or b ) and ( b or c ) and ( c or a ) sub formă de disjuncţie de mintermi.